A prímszámok fogalmát már több, mint 2000 éve ismerjük egy ókori görög tudósnak, Euklidesznek köszönhetően. Habár már általános iskolában is tananyag, a mai matematika legnagyobb rejtélyét képezik, és még a legjobb matematikusok sem voltak képesek választ adni a prímszámokkal kapcsolatos számos kérdésre.

Neked szerencsére nem kell az év végi matek ötöshöz megoldani a megoldhatatlant – elegendő, ha a legfontosabb állításokkal tisztában vagy prímekkel kapcsolatban.

A prímszám fogalma

Ha a természetes számokat szeretnénk csoportosítani, akkor az alábbi módon tehetjük meg ezt.

A 0-nak minden természetes szám osztója, így végtelen sok osztója van.

Az 1-nek összesen egy pozitív osztója van, és ez önmaga.

Azon pozitív egészeket, melyeknek pontosan két pozitív osztójuk van, prímszámoknak nevezzük.

Azon pozitív egészeket, melyeknek kettőnél több osztója van, összetett számoknak nevezzük.

Az Erasztothenészi szita használata

Ha szeretnéd meghatározni az első N prímszámot, akkor létezik erre egy roppant egyszerű módszer, melyet úgy hívunk, hogy Erasztothenészi szita. A példa kedvéért ezzel a módszerrel fogjuk meghatározni N=25-ig a prímeket.

1,

Vegyünk fel egy NxN-es négyzetrácsot, ebbe írjuk a pozitív egész számokat 1-től N-ig.

2,

Először vegyük a kettőt. Húzzuk ki a kettő többszöröseit a négyzetrácsból. Ezek a számok biztosan nem prímek, hiszen mindegyiküknek osztója a kettő.

3,

Utána vegyük a hármat. Húzzuk ki az összes háromnál nagyobb számot, amelynek a három osztója. Ezek a számok biztosan nem prímek, hiszen a három többszörösei.

4,

Utána folytassuk az algoritmust. Mindig vegyük a legkisebb nem kihúzott számot, amit eddig nem vettünk. Az összes többszörösét húzzuk ki a rácsból.

5,

Az algoritmust addig kell folytatni, amíg a soron levő szám négyzete nem lesz nagyobb az N számnál.

Ha az algoritmus szerint járunk el, N=5-re az alábbi ábrát fogjuk kapni.

A prímszám táblázat, mely az első 100 prímet adja meg

Ha az Erasztothenészi szitát N-10-re felrajzoljuk, akkor könnyen adódik, hogy az első 100 pozitív egész számban összesen 26 prím van. A prímek 1-től N-ig legyenek az alábbiak: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97

Véges, vagy végtelen sok prímszám van?

Próbáljunk meg a kérdés végére járni indirekt bizonyítással! Tegyük fel, hogy a prímszámok száma véges. Jelöljük a prímeket rendre

Jelöljük K-val ezen számok szorzatát, és adjunk hozzá ehhez a számhoz egyet! Az alábbi egyenlethez jutunk:

A kapott K szám biztosan nem osztható a számok egyikével sem. Pedig K nyilván nem egyezhet egyik eddig feltételezett prímmel sem. Az ellentmondás feloldása a hibás kezdeti felvetésünk.

Hogyan definiáljuk az ikerprímeket?

Az ikerprímek olyan prímszám párok, melyeknek kettő a különbsége. Például a {3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31} számpárok ikerprímek.

A prímszámok gyakorlati alkalmazása

Bizonyosan te is szeretnél minél többször chatleni este a barátaiddal. Az is lehet, hogy nyaraláskor küldesz egy SMS-t az egyik barátodnak. Legyen szó akármelyikről – nagyon fontos, hogy az üzeneted biztonságosan célba érjen.

A prímszámoknak hatalmas szerepe van a mai titkosításban. Nehezen lehetne titkosítást elképzelni a prímek ismerete nélkül. Ennek az az oka, hogy a nagy összetett számok faktorizációja nehézkes.

Gyakorló feladatok

Lássunk néhány olyan feladatot, ami előjöhet a matematika témazárón, vagy a gimis felvételin! A siker titka mindig a gyakorlás.

I. feladat

Adjuk meg az első 6 prímszám összegét!

Megoldás. 

Ahhoz, hogy az összeget kiszámolhassuk, meg kell határozni a prímszámokat. Ezt megtehetjük akár egyesével vizsgálva is (hiszen kevés számról van szó), vagy az Erasztothenészi szitával. Az első 6 prímszám: 2,3,5,7,11,13.

Ezeknek az összege: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41

II. feladat

Döntsük el, hogy az első 8 prímszám összege és szorzata páros vagy páratlan szám.

Megoldás. 

Az első gondolata talán mindenkinek az, hogy határozzuk meg az első 8 prímszámot, és adjuk össze őket, valamint vegyük a szorzatukat. Ehelyett próbáljuk meg a paritásokat vizsgálni!

A 2 prím, ezért a szorzatnak van páros tényezője, így a szorzat biztosan páros.

III. feladat

Három prímszám szorzata 795. Melyek ezek a számok?

Megoldás. 

A prímek szorzata 5-re végződik, így biztos, hogy a szorzat egyik tényezője az 5 lesz. Ha jobban megvizsgáljuk a számjegyeinek összegét a számnak, akkor látható, hogy 3-al osztható. Ebből az következik, hogy a 3 is tényezője a szorzatnak. Ezek után már nem nehéz meghatározni a harmadik számot osztással. A keresett számok:

• 3
• 5
• 53

Összefoglalás

A cikk nagyrészt összefoglalta azokat az állításokat a prímekre vonatkozóan, melyekkel érdemes tisztában lenned, ha éppen erről tanulsz az iskolában, és a következő dolgozatodra készülsz, vagy álmaid gimijébe szeretnél felvételizni. Szeretnél igazi gyakorlati tudást szerezni, rengeteg gyakorló példán keresztül? Akkor iratkozz be online tanulófelületünkre, melyet direkt általános iskolásoknak találtunk ki!