A háromszög terület-és kerületszámítása már bizony általános iskolában is előjön. Nagyon fontos, hogy tisztában legyünk ezzel a témakörrel, hiszen ennek hiányában aligha fogunk jó érdemjegyet kapni matematikából. Hiszen, a későbbiek során is rengeteg olyan feladattal találkozunk majd, ami ehhez a témakörhöz kapcsolódik – például, hogyan lehet kiszámolni kicsit komplexebb síkidomok területét és kerületét?
Mi a háromszög?
A háromszög egy olyan geometriai alakzat, melynek három oldala, és három csúcsa van.
Természetesen ennek a sokszögnek is vannak speciális esetei: ilyen például az egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, vagy a derékszögű háromszög. Számunka azért érdekesek ezek a speciális esetek, mert egy speciális háromszög területszámítása könnyebb lehet, mint amikor egy általános háromszög területét kell kiszámolni.
A tetszőleges háromszög területe és kerülete
Először a tetszőleges háromszög területének meghatározását szeretnénk bemutatni. Egy tetőszeges háromszög területét megadhatjuk úgy, hogy az az egyik tetszőleges élhosszát összeszorozzuk az adott oldalhoz tartó magassággal, és az eredményt osztjuk kettővel. A helyes képlet az alábbi:
Egy szintén lehetséges módszer a háromszög területének meghatározására az úgynevezett Hérón-képlet.
A képletben a, b, c értelemszerűen a háromszög oldalait jelölik, míg s a háromszög félkerületét.
Egy szintén lehetséges területszámítási mód az, hogy a háromszöget ábrázoljuk egy derékszögű koordináta-rendszerben. Jelölje a csúcspontok koordinátáit rendre (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). Ez esetben a háromszög területe az alábbi képlettel számítható ki:
Egy háromszög területe szintén megadható a háromszög köré írt körének, valamint beírt körének a segítségével. A helyes képletek az alábbiak, ha R jelöli a körülírt kör sugarát, r a beírt kör sugarát, míg s a Hérón-képletből ismert félkerületet:
Természetesen vannak olyan számítási módszerek is, amelyek szintén alkalmazhatók, azonban ezek túlmutatnak az általános iskolai tananyagon.
Egy tetszőleges háromszög kerülete úgy számítható ki, hogy összeadjuk az oldalinak a hosszát. Nincs rá speciális számító képlet:
Ezen számítási módszerek mindig alkalmazhatók. Most lássuk a speciális háromszögek területszámítási és kerületszámítási módját – miben egyszerűsödhet mindez?
A derékszögű háromszög területe és kerülete
Egy derékszögű háromszög területszámításakor könnyedén kihasználhatjuk azt a tényt, hogy két oldala merőleges egymásra. Nincs más dolgunk, mint hogy a két merőleges befogóját összeszorozzuk, és hogy az eredményt elosszuk kettővel.
Egy derékszögű háromszög kerületszámításakor kihasználhatjuk azt a tényt, hogy az átfogó hossza megadható a befogók hosszának függvényében. A helyes képlet:
Az egyenlő szárú háromszög területének kiszámítása
Egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározásakor könnyedén kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a szárak közös csúcspontjából az alapra állított merőleges szakasz felezi az alapot. Így, a magasság is könnyedén kiszámítható Pitagorasz tételével. Szemléljük az alábbi ábrát.
Amennyiben az AB szakasz hosszát a-val jelöljük, az AD és DB szakasz hosszai a/2. Pitagorasz tételéből következik, hogy
azaz
A háromszög területe
Egy egyenlő szárú háromszög kerülete az oldalainak összege. Mivel két oldala egyenlő, ezért az alábbi egyenlőség írható fel:
Az egyenlő oldalú háromszög területének számítása
A szabályos háromszög területe egy speciális számítóképlettel számítható ki:
A kerülete nagyon egyszerűen számítható, hiszen minden oldal hossza egyenlő:
Összefoglalás
A háromszögekkel kapcsolatos számítási képletek közül különösen nagy hangsúlyt kell fektetnünk a speciális háromszögek terület-és kerületszámítására – hiszen a gimis felvételin, és a matematika dolgozatban ezek jönnek elő a legtöbbször.
Szeretnél beiratkozni online tanulófelületünkre, melyek kifejezetten diákok számára készítettünk? Szeretnél valódi gyakorlati tudást szerezni? Akkor kattints!